۳-۲-۲-۳-۲-مدل پوششی (ثانویه) BCC ورودی محور

این مدل، ثانویه مدل مضربی BCC ورودی می‌باشد. چنانچه متغیر متناظر با محدودیت =۱در مسئله ثانویه با و متغیرهای متناظر با محدودیت­های – ≤۰ با نشان داده شود، مدل ثانویه به صورت مدل ۲-۱۶ خواهد بود:

Min Y₀=

مدل ۲-۱۶

s.t

i=1, 2, 3, …m

r=1, 2, 3, …s

≥۰

آزاد در علامت ≥۰

مدل ۲-۱۶ با اندکی تغییر به صورت مدل ۲-۱۷ در می ­آید:

مدل ۲-۱۷

Min Y₀=

s.t

r=1, 2, 3, …s

i=1, 2, 3, …m

آزاد در علامت ≥۰

مدل ۲-۱۷ را مدل پوششی BCC ورودی محور می­نامند.

۴-۲-۲-۳-۲-مدل اصلاح شده BCC ورودی محور

همان‌ طور که در مدل مضربی BCC ورودی محور مشاهده می­ شود، مقدار متغیرهای مدل یعنی v_iها و u_rها بزرگ‌تر مساوی صفر در نظر گرفت می­ شود، لذا این امکان وجود دارد که مقدار یکی و یا تعدادی از این متغیرها برابر با صفر شود؛ که موجب می­ شود مقدار ورودی و یا خروجی­ای که متغیر مربوط به آن (وزن آن) برابر با صفر شده است در محاسبه کارایی در نظر گرفته نشود. برای رفع این مشکل، یک سال پس از چاپ اولین مقاله تحلیل پوششی داده ها، پیشنهاد شد که مقدار متغیرها بزرگ‌تر و مساوی (مقدار بسیار کوچک) در نظر گرفته شوند. در نتیجه مدل به صورت مدل ۲-۱۸ در خواهد آمد:

Max Z₀=

مدل ۲-۱۸

s.t

=۱

– ≤۰

j=1, 2, 3, …n

𝑢ᵣ, 𝑣ᵢ≥

و ثانویه مدل ۲-۱۸ عبارت است از:

Min Y₀=

s.t

مدل ۲-۱۹

r=1, 2, 3, …s

=۰

i=1, 2, 3, …m

آزاد در علامت ۰ ≤

۵-۲-۲-۳-۲-مدل نسبت BCC خروجی محور

j=1, 2, 3, …n

مدل ۲-۲۰

s.t

𝑢ᵣ, 𝑣ᵢ≥۰ آزاد در علامت

۶-۲-۲-۳-۲-مدل مضربی (اولیه) BCC خروجی محور

با ثابت نگه­داشتن صورت کسر مدل نسبت خروجی محور (صورت کسر را معادل با یک قرار می‌دهد) و حداقل کردن مخرج آن، مدل مضربی BCC خروجی محور حادث می­گردد. ‌به این ترتیب تابع هدف مدل به صورت مینیمم سازی در می ­آید و مدل دارای دو دسته محدودیت می­گردد: دسته اول مربوط به نسبت مجموع موزون خروجی­ها به ورودی­ ها و دسته دیگر مربوط به محدودیت تساوی قرار دادن صورت کسر تابع هدف می‌باشد.

Min Z₀=

مدل ۲-۲۱

s.t

=۱

≤۰

j=1, 2, 3, …n

𝑢ᵣ, 𝑣ᵢ≥۰ آزاد در علامت

۷-۲-۲-۳-۲-مدل پوششی (ثانویه) BCC خروجی محور

این مدل، ثانویه مدل مضربی BCC خروجی می‌باشد. چنانچه متغیر متناظر با محدودیت =۱در مسئله ثانویه با و متغیرهای متناظر با محدودیت­های – ≤۰ با نشان داده شود، مدل ثانویه به صورت مدل ۲-۲۲ خواهد بود:

Max Y₀=

مدل ۲-۲۲

s.t

i=1, 2, 3, …m

≥۰

r=1, 2, 3, …s

آزاد در علامت ≥۰

مدل ۲-۲۲ با اندکی تغییر به صورت مدل ۲-۲۳ در می ­آید:

Max Y₀=

مدل ۲-۲۳

s.t

i=1, 2, 3, …m

r=1, 2, 3, …s

آزاد در علامت ≥۰

مدل ۲-۲۳ را مدل پوششی BCC خروجی محور می­نامند.

۸-۲-۲-۳-۲-مدل اصلاح شده BCC خروجی محور

همان‌ طور که در مدل مضربی BCC خروجی محور مشاهده می­ شود، مقدار متغیرهای مدل یعنی v_iها و u_rها بزرگ‌تر مساوی صفر در نظر گرفت می­ شود، لذا این امکان وجود دارد که مقدار یکی و یا تعدادی از این متغیرها برابر با صفر شود؛ که موجب می­ شود مقدار ورودی و یا خروجی­ای که متغیر مربوط به آن (وزن آن) برابر با صفر شده است در محاسبه کارایی در نظر گرفته نشود. برای رفع این مشکل، مقدار متغیرها بزرگ‌تر و مساوی (مقدار بسیار کوچک) در نظر گرفته شوند. در نتیجه مدل به صورت مدل ۲-۲۴ در خواهد آمد:

Min Z₀=

مدل ۲-۲۴

s.t

=۱

– ≤۰

j=1, 2, 3, …n

𝑢ᵣ, 𝑣ᵢ≥

و ثانویه مدل ۲-۲۴ عبارت است از:

Max Y₀=

مدل ۲-۲۵

s.t

r=1, 2, 3, …s

i=1, 2, 3, …m

=۰

آزاد در علامت ۰≤

۳-۲-۳-۲- مدل جمعی

مدل‌های ورودی محور در حالی که میزان خروجی­ها را در سطح داده شده حفظ می­ کند، به طور متناسب و در حد امکان نسبت به کاهش میزان ورودی­ ها اقدام می­ نماید. و برعکس، در مدل‌های خروجی محور با حفظ میزان ورودی، به طور متناسب و خروجی­ها را افزایش می‌دهد. مدل جمعی، مدلی است که همزمان کاهش ورودی­ ها و افزایش خروجی­ها را مورد توجه قرار می‌دهد. مدل جمعی در سال ۱۹۸۵، توسط چارنز، کوپر، گولانی سینورد و استوس معرفی گردید (مهرگان،۱۳۹۱)، که به صورت مدل ۲-۲۶ است:

Min Z₀=

s.t

مدل ۲-۲۶

r=1, 2, 3, …s

i=1, 2, 3, …m

=۱

و ثانویه مدل ۲-۲۶ عبارت است از:

Max Z₀=

s.t

مدل ۲-۲۷

– ≤۰

j=1, 2, 3, …n

≥۱

۱

𝑢ᵣ, 𝑣ᵢ≥۰

۳-۳-۲- مفهوم قیمت سایه در تحلیل پوششی داده ها

قیمت­های سایه در تحلیل پوششی داده ها برای واحدهای ناکارا دیدگاه دیگری را درباره کارایی ارائه ‌می‌کنند. واحدهای ناکارا برای بهبود کارایی و کارا شدن، نیاز به الگو گیری از واحدهای کارا هستند که این واحدها، واحدهای مرجع واحد ناکارا نامیده می­شوند. واحدهای مرجع هر واحد ناکارا بر اساس قیمت سایه غیر صفر ناشی از حل مدل مربوط به آن واحد ناکارا، شناسایی می­شوند.

از ترکیب واحدهای مرجع، واحد مجازی مربوط به واحد ناکارا ساخته می­ شود و قیمت­های سایه غیر صفر، نسبت ترکیب واحدهای مرجع برای ساختن واحد مجازی ارائه می‌دهد، که به صورت رابطه ۲-۱۱ می‌باشد (مهرگان، ۱۳۹۱).

ورودی­های (خروجی­های) واحد مجازی=

رابطه ۲-۱۱

۴-۳-۲- ناکارایی تکنیکی و مقیاس

شکل ۲-۶ وضعیت واحدهای تصمیم ­گیری گوناگون را نشان می‌دهد که با مصرف یک ورودی (داده)، یک خروجی (ستاده) تولید ‌می‌کنند. هر نقطه در این شکل نشانگر یک واحد تصمیم ­گیری یا همان DMU می‌باشد و جایگاه آن در شکل، میزان داده ­های مصرفی و ستاده­ های تولیدی آن واحد را نشان می‌دهد (مؤمنی، ۱۳۹۲).

مرز کارایی نسبی ۱۰۰%

ستاده

•

•

•

•

منطقه ناکارایی تکنیکی

•A

•

•

•

•

•

ورودی

شکل ۲-۶- جایگاه DMUها در فضای یک داده و یک ستاده

واحدی که بر روی مرز کارایی (خط شکسته) قرار دارد بیشترین ستاده را از داده ­های موجود تولید می­ کند و یا برای تولید ستاده­ای معین، کمترین ورودی را مصرف می­ کند (کارایی یک). واحدهایی که زیر خط مرز کارایی قرار دارند، ناکارا (کارایی کمتر از یک) محسوب می­شوند. آن ها می ­توانند با همین ورودی­ ها، ستاده بیشتری تولید کنند و یا ستاده خود را با ورودی کمتری تولید کنند. به عنوان مثال، واحد A که یک واحد ناکاراست می ­تواند با صرفه­جویی در منابع برای تولید همین ستاده یا افزایش ستاده با مصرف همین تعداد داده و یا ترکیبی از این دو، عملکرد خود را بهبود بخشد.