• 1. ارائه روش حل مسئله

این مدل شامل دو تابع هدف می‌باشد که تابع هدف اول ماکزیمم کردن احتمال موفقیت پروژه و تابع هدف دوم مینیمم کردن هزینه می‌باشد .این دو تابع هدف در تضاد هم می‌باشند در نتیجه توانستیم از مرز پارتو (پارتو۱۹۰۶) استفاده کنیم (Sayarshad، ۲۰۰۹).

Find X

To maximize:

Z₂(x) – µs (9)

Subject to:

Z₁(x)-s<= (10)

s>=0 (11)

µ>=0 (12)

xX (13)

یک مقدار نزدیک به صفر است و µ مقادیر متفاوتی را برای به دست آوردن مرز پارتو دریافت می‌کند.

سپس با بهره گرفتن از روش آنتروپی و با بهره گرفتن از ماتریسی که از مرز پارتو با بهره گرفتن از روش (Ehrgottand Ryan2002) Elastic Constraint Method بدون استفاده از DM به دست می‌آید مرزها را به دست آوریم. سپس به منظور قابل مقایسه شدن مقیاس های مختلف اندازه گیری باید از بی مقیاس کردن استفاده نمود، که بدان طریق عناصر شاخص های تبدیل شده n_ij بدون بعد اندازه گیری می‌شوند. طرق مختلف بی مقیاس کردن به قرار زیر است:

1. 1. بی مقیاس کردن با بهره گرفتن از نرم

1. 1. بی مقیاس کردن خطی

1. بی مقیاسی فازی

بی مقیاسی فازی:

این بی مقیاسی برای یک شاخص(x_i) عبارت است از:

n_{ij =} (۱۴)

مقیاس اندازه گیری فازی دقیقاً بین یک و صفر خواهد بود، به طوری که صفر برای بدترین نتیجه و یک برای بهترین نتیجه است.

دراکثرمسائل MCDM و بخصوص­بخش MADM از آن نیاز به­داشتن و دانستن اهمیت نسبی از شاخص­ های (اهداف) موجود داریم، به طوری که مجموع آن ها برابر با واحد( نرمالیزه) شده و این اهمیت نسبی درجه ارجحیت هر شاخص (هدف) را نسبت به بقیه برای تصمیم گیری مورد نظر بسنجد. (اصغر پور، ۱۳۸۷).

ذیلاً چهار روش را در ارزیابی اوزان برای شاخص های موجود در یک تصمیم گیری عنوان می شود:

1. 1. روش آنتروپی

1. 1. روش Linmap

1. 1. روش کمترین مجذورات وزین شده

1. روش بردار ویژه

روش آنتروپی:

آنتروپی یک مفهوم عمده در علوم فیزیکی، اجتماعی و تئوری اطلاعات می‌باشد به طوری که نشان دهنده مقدار عدم اطمینان موجود از محتوای مورد انتظار اطلاعاتی از یک پیام است. به لفظ دیگر، آنتروپی در تئوری اطلاعات معیاری است برای مقدار عدم اطمینان بیان شده توسط یک توزیع احتمال گسسته(p_i) به طوری که این عدم اطمینان، در صورت پخش بودن توزیع، بیشتر از موردی است که توزیع فراوانی تیزتر باشد (Shannon) (Sayarshad، ۲۰۰۹)

این عدم اطمینان به صورت ذیل تشریح می شود (ابتدا ارزشی را با نماد E محاسبه می نماییم) :

E S = -K (15)

به طوری که K یک ثابت مثبت است به منظور تامین ۰<= E <= 1 .

E از توزیع احتمال P_i بر اساس مکانیزم آماری محاسبه شده و مقدار آن در صورت تساوی P_i ها با یکدیگر یعنی (P_i= ) ماکزیمم مقدار ممکن خواهد بود، بدین‌صورت :

-K = -k

= -K = -K ln (16)

یک ماتریس تصمیم گیری از یک مدل MADM حاوی اطلاعاتی است که آنتروپی می‌تواند به عنوان معیاری برای ارزیابی آن به کار رود.

محتوی اطلاعاتی موجود از ماتریس را ابتدا به صورت (P_ij) در ذیل محاسبه می‌کنیم:

P_ij = ; (۱۷)

و برای E_j از مجموعه P_ij ها به ازای هر مشخصه خواهیم داشت :

E_j= -k (18)

به طوری که K= است.

اینک عدم اطمینان یا درجه انحراف (d_j) از اطلاعات ایجاد شده به ازای شاخص jام بدین قرار است:

d_j= 1- E_j ; (۱۹)

و سر انجام برای اوزان (W_j) از شاخص های موجود خواهیم داشت:

W_j= ; 20)

• 1. روش حل

پارامترهای مدل طبق جدول زیر مقدار می گیرند

a

c

invest

p

co

vv

۶۰۰۰

۸۰

۱۰۰۰۰۰۰

۰٫۵

۳۵۰۰۰۰

۲۰

۱۰۰۰۰

۲۵

۱۰۰۰۰۰۰

۰٫۵

۴۷۰۰۰۰

۳۴

۱۰۰۰

۵۵

۲۰۰۰۰۰۰

۰٫۵

۵۹۰۰۰۰

۵۳

۷۵۰

۴۰

۳۰۰۰۰۰۰

۰٫۵

۷۱۰۰۰۰

۴۲

۲۲۵۰

۶۵

۶۰۰۰۰۰۰

۰٫۵

۸۳۰۰۰۰

۹۸

۲۰۰۰

۵۰

۷۰۰۰۰۰۰

۰٫۵

۹۵۰۰۰۰

۶۵

جدول ۱

گام اول:

با توجه به اینکه تابع هدفها در تضاد با یکدیگر می‌باشند ما از روش پارتو ( فرمول‌های ۹،۱۰، ۱۱، ۱۲، ۱۳) استفاده کرده و ماتریس تصمیم را به دست می آوریم که نتیجه آن طبق جدول زیر می‌باشد.

Z2

Z1

۲٫۵۴

۱۳۲۹٫۱۵

۳٫۵۹

۱۵۰۰

۳٫۶۹

۱۵۵۰

۳٫۷۵

۱۶۰۲٫۳۵

۳٫۸

۱۸۷۳٫۴۶

۳٫۹

۱۶۴۹

۴٫۰۹

۱۷۰۰

۴٫۱۷

۱۷۲۰

۴٫۲۹

۱۷۵۰

۴٫۴

۱۷۸۰

۴٫۴۸

۱۸۰۰

۴٫۶

۱۸۲۱٫۸۲

۴٫۸

۱۸۷۳٫۴۶

۵٫۳۶۷

۲۰۲۶٫۱۹

جدول ۲

Z2

Z1

۰٫۰۰

۰٫۰۰

۰٫۳۷

۰٫۲۵

۰٫۴۱

۰٫۳۲

۰٫۴۳

۰٫۳۹

۰٫۴۵

۰٫۷۸

۰٫۴۸

۰٫۴۶

۰٫۵۵

۰٫۵۳

۰٫۵۸

۰٫۵۶

۰٫۶۲

۰٫۶۰

۰٫۶۶

۰٫۶۵

۰٫۶۹

۰٫۶۸

۰٫۷۳

۰٫۷۱

۰٫۸۰

۰٫۷۸

۱٫۰۰

۱٫۰۰

در گام بعدی اطلاعات حاصل از جدول فوق را( با بهره گرفتن از فرمول شماره ۱۴) نرمال سازی کرده که نتیجه حل در جدول زیر آمده است.

جدول ۳

در گام بعد با بهره گرفتن از روش آنتروپی ( فرمول‌های ۱۵، ۱۶، ۱۷، ۱۹، ۲۰) از اطلاعات جدول فوق استفاده نموده که این اطلاعات نقش ماتریس اطلاعات را ایفا می‌کنند و مقادیر ۰٫۷۸ = W₁ و ۰٫۲۲ = W₂ که ضرایب تابع هدف اول و دوم مدل می‌باشند را به دست می آوریم .

تعداد ۶پروژه را به عنوان ورودی مدل فرض شده است که ۳ پروژه با توجه به منابع و محدودیت ها انتخاب می شود .